facebook twitter instagram issuu linkedin research gate youtube ustv

Nauka na wyciągnięcie ręki

Obszar nauk humanistycznych
Obszar nauk społecznych
Obszar nauk ścisłych
Obszar nauk przyrodniczych
Obszar nauk technicznych
Obszar sztuki

O fraktalach oraz ich zastosowaniach słów kilka

Kierownik projektu: dr Piotr Janoska z Zakładu Teorii Prawdopodobieństwa

O fraktalach oraz ich zastosowaniach słów kilka

„Zobaczyć świat w ziarenku piasku,
Niebiosa w jednym kwiecie z lasu.
W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar,
W godzinie – nieskończoność czasu”
William Blake

Fraktalem nazywamy w znaczeniu potocznym obiekt, którego części są podobne do całości (samopodobny) lub też ukazujący subtelne detale w wielokrotnym powiększeniu (nieskończenie subtelny). Warto dodać, że twórcą pojęcia fraktala jest wybitny matematyk polskiego pochodzenia, prof. Benoit Mandelbrot z amerykańskiego Uniwersytetu Yale, który przedstawił teorię fraktali w latach 70.

1                 2

Jedną z metod tworzenia fraktali jest wykorzystywanie pewnych specjalnych funkcji matematycznych. Powstające obiekty są często zbiorami mającymi względnie prostą definicję matematyczną i naturalny (poszarpany lub kłębiasty) wygląd. W ten sposób możemy otrzymać fraktale o ciekawych nazwach: zbiór Cantora, trójkąt Sierpińskiego, kostka Mengera, paproć Barnsleya, krzywa Kocha, smok Heighwaya.

zdjecie                zdjecie

Inną metodą tworzenia fraktali jest wykorzystywanie ciągów liczbowych, dzięki którym można otrzymać interesujące fraktale: zbiór Mandelbrota, zbiór Julii, „płonący statek”. Często obrazy omawianych zbiorów są bardzo kolorowe, cechuje je nietrywialność struktury w każdej skali, ponadto struktura ta nie daje się łatwo opisać przy pomocy zwykłej geometrii.

5                    6

Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się jego samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo części do całości. Dla figur samopodobnych możemy zdefiniować wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru. Przy definiowaniu wymiaru samopodobieństwa figury używamy logarytmów. W przypadku zbiorów fraktalnych wymiar ten może nie być liczbą całkowitą, np. wymiar samopodobieństwa zbioru Cantora wynosi:
d = log 2/log 3 = 0.630929754…,
wymiar samopodobieństwa trójkąta Sierpińskiego jest równy:
d = log 3/log 2 = 1.584962501…,
natomiast wymiar samopodobieństwa dywanu Sierpińskiego to:
d = log 8/log 3 = 1.892789261…
Zatem kolejnym wyzwaniem dla matematyków jest obliczanie wymiarów zbiorów fraktalnych, które stanowi skomplikowany proces.

7             8

Fraktale znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach życia. Obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej. Wiele odpowiedników fraktali istnieje w otaczającej nas naturze. Przykładem mogą być płatki śniegu, system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawice, chmury, fiordy, prądy zatokowe czy formacje skalne. Fraktale są obiektami często występującymi w grafice komputerowej, bowiem wiele programów komputerowych tworzonych jest specjalnie w celu otrzymywania obrazów fraktalnych.

11           12


 

Skróty

Copyright © 2001-2019
Uniwersytet Śląski w Katowicach
Wszelkie prawa zastrzeżone.